html текст
All interests
  • All interests
  • Design
  • Food
  • Gadgets
  • Humor
  • News
  • Photo
  • Travel
  • Video
Click to see the next recommended page
Like it
Don't like
Add to Favorites

Топологическая оптимизация

Специалист по Civil Engineering Игорь Останин о подходах к топологической оптимизации, природных арках и поисках оптимальных форм

Как оптимизировать структуру и форму окружающих нас предметов? Решением этой задачи занимается топологическая оптимизация. Как развитие 3D-печати и вычислительных мощностей повлияло на развитие области и чем объясняется природная оптимизация, рассказывает научный сотрудник Центра Сколтеха по научным и инженерным вычислительным технологиям для задач с большими массивами данных Игорь Останин.

ПостНаука и Сколковский институт науки и технологий представляют курс «Математическое моделирование», составленный на основе магистерской программы «Вычислительные системы в науке и технике».

Топологическая оптимизация — это в некотором смысле попытка автоматизировать труд инженеров. Разрабатывать конструкции, которые достаточно эффективны для решения определенных задач, инженеры научились довольно давно: несущие балки, детали самолетов, корпуса подводных лодок и так далее. Для каждого конкретного приложения инженер может сказать, как приблизительно должна выглядеть та или иная деталь. Но насколько оптимальной будет такая деталь? Можно ли придумать форму лучше? И если да, то насколько лучше?

Эти вопросы могут быть сформулированы на достаточно строгом математическом языке в виде задачи оптимизации, и при определенных допущениях на них может быть дан единственно верный ответ. Представим, что у нас есть кронштейн, который одним концом жестко заделан в стену, а другой конец тяжело нагружен. Можно ли придумать для него такую форму, которая минимизирует запасенную в нем упругую энергию (меру его жесткости), и при этом потратить минимум материала? Топологическая оптимизация дает ответ на этот и подобные вопросы.

Помимо задач оптимизации жесткости и прочности, топологическая оптимизация используется, в частности, при разработке микроструктур метаматериалов. Например, сконструировать такую микроструктуру, чтобы после ее периодического повторения и усреднения на макроуровне получить желаемые упругие свойства.

История топологической оптимизации

Сама идея структурной оптимизации, то есть возможности разумно экономить материал, появилась в начале XX века. Первую, пионерскую работу в 1904 году написал Митчелл (Anthony George Maldon Michell (1904) The limits of economy of material in frame-structures, Philosophical Magazine, Vol. 8(47), p. 589–597). В контексте численных методов о структурной оптимизации впервые стали говорить одновременно с появлением метода конечных элементов, то есть в 1960-е годы.

Наиболее интересные идеи топологической оптимизации появились в 1980-е годы, и на их основе были разработаны хорошие, законченные теории. Но настоящий всплеск интереса к этой теме начался вместе с широким распространением трехмерной печати. Оптимизировать структуру только полдела, ее ведь нужно еще и реализовать. А если оптимальная структура настолько сложна, что ее не позволяет сделать ни один станок с числовым программным управлением? Именно здесь на помощь приходит 3D-печать. На рубеже 2000–2010-х годов истекли некоторые ключевые патенты на технологии, связанные с 3D-печатью. После этого она стала развиваться экспоненциально, и, как следствие, все вспомнили про топологическую оптимизацию. Благодаря этому появился инструмент, позволяющий печатать смоделированные структуры.

Техники топологической оптимизации

Самой первой техникой топологической оптимизации была SIMP — Solid Isotropic Material with Penalization. Исследователи достаточно быстро поняли, что задача оптимизации как поиска распределения материала изначально была сформулирована плохо. Изменение топологии, то есть появление в заполненной области сквозных отверстий или полостей, приводит к появлению огромного количества равноценных структур. Более того, чем мельче вводимые полости или отверстия, тем лучше можно получить оптимизируемый функционал — число, которое сопоставляется структуре. На практике же такие микроперфорированные решения нам неинтересны, и их появление лишь артефакт постановки задачи.

Как же получить адекватное решение? В этом поможет регуляризация: нужно по возможности уменьшить пространство поиска, объяснив в задаче, что именно мы ищем. Например, нам нужна структура с каким-то конечным числом элементов или структура по возможности с небольшой площадью поверхности. Кроме того, нужно сформулировать задачу так, чтобы она была, что называется, выпуклой: чтобы в направлении улучшения свойств можно было двигаться потихоньку, маленькими итерациями, а в конце концов прийти к наилучшей структуре.

Классическая формулировка задачи топологической оптимизации SIMP позволяет сделать именно это: с одной стороны, сформулировать изначально невыпуклую задачу в удобном для градиентного спуска виде, не делая ее при этом глобально выпуклой, но создавая выпуклые подзадачи на каждом локальном шаге. С другой стороны, при помощи техники фильтрации мы можем определить необходимый размер детали.

Этот метод не сразу получил признание, потому что он довольно сложен и не существует его прямой и понятной инженерной интерпретации. В SIMP подразумевается, что в области, в которой мы моделируем, нужно сначала найти серое (иначе говоря, промежуточное) распределение, то есть размазать условную балку и сталь для нее в виде промежуточной плотности, а потом постепенно собрать эту плотность в отдельные элементы конструкции. Такой подход может показаться на первый взгляд несколько странным: совсем неочевидно, как его можно интерпретировать. Поэтому до определенного момента прикладники относились к этой технике скептически.

Потом появилась еще одна техника, которая стала конкурировать с SIMP. Она основана на так называемом жадном вырезании: мы берем сплошной кусок материала и начинаем вырезать материал в тех местах, где упругая энергия минимальна. Основная цель — по возможности оставлять полезные для данной конструкции области, несущие нагрузку, где есть напряжение, а ненапряженные области удалять. Таким образом, двигаясь итеративно, мы получаем конструкции, близкие к тому, что генерирует SIMP. Такая техника довольно просто реализуется и называется «эволюционная структурная оптимизация» (Evolutionary Structural Optimization, ESO). В более общей постановке двунаправленной ESO (Bidirectional ESO, BESO) позволяется не только удалять, но и добавлять эффективный материал, что позволяет найти более эффективные структуры.

Две техники — простая и вычислительно незатратная BESO, а также несколько более математически строгая SIMP — сегодня активно конкурируют. Они были реализованы во многих коммерческих пакетах и стали широко применяться в современной индустрии.

Естественная оптимизация

Когда я учился в Университете Миннесоты в США, я узнал о существовании природных арок. Их можно увидеть в национальных парках Юты и Аризоны. Это естественные формации, которые похожи на арки, созданные людьми, но на самом деле это природные образования. Я задался вопросом: как могла появиться такая красота? Возникла идея: что, если материал разрушается именно там, где нет напряжения? Это вполне следует из закона сухого трения: чем сильнее мы что-то прижимаем, тем труднее это сдвинуть. Это достаточно хорошо обоснованный и широко используемый закон геомеханики.


Естественная арка в Юте, США // wikipedia.org

Спустя некоторое время, в 2014 году, была опубликована статья в Nature Geoscience со сходной идеей. Прочитав ее, я понял, что появление таких естественных арок — это не что иное, как реализация алгоритма эволюционной структурной оптимизации в природе. Я и мои коллеги написали об этом статью “Natural Erosion of Sandstone as Shape Optimisation” в Scientific Reports, которая привела к напряженным дискуссиям.

С одной стороны, это очень красивая идея, которая вызвала значительный всплеск интереса и энтузиазма у наших коллег. У нас есть свидетельства того, что именно так все и происходит: природа формирует оптимальные, стабильные катенарные арки. Если мы возьмем цепь за концы, то увидим, что она провисает по определенной линии, известной как катеноида, или цепная линия. Если перевернуть эту линию, получится наиболее стабильная арка. В случае с цепью все звенья могут сопротивляться только нагрузке на растяжение, а цепь моментально меняет форму, если появляется какой-то изгибающий момент. Поэтому в уравновешенной цепи нет никаких изгибов и сдвигов, только чистое растяжение. Если сменить направление гравитации и перевернуть цепь, то получится система, которая находится в состоянии чистого сжатия. А типичные материалы, используемые в гражданском строительстве, равно как и естественные геоматериалы, хорошо выдерживают состояние сжатия и относительно легко разрушаются изгибающими моментами и сдвигами. Именно благодаря этим свойствам природа воспроизводит катенарные арки, которые остаются стабильными в геологических масштабах.

С другой стороны, процессы эрозии все же слишком сложны, чтобы можно было безапелляционно говорить об однозначной связи эрозии и феноменологических алгоритмов оптимизации формы, не говоря уже о конкретных математических постановках задачи оптимизации. Из-за этого наша работа получила и немало обоснованной критики.

Современные направления в теории топологической оптимизации

Топологическая оптимизация сама по себе — подраздел теории оптимизации, но с некоторой спецификой, связанной с ее развитием в плотном контексте практических приложений. В этой области работают инженеры, которым важен практический результат. Если они получили конструкцию легче на 5%, обладающую той же жесткостью и прочностью, что и предыдущая, — это и есть их результат. Но также топологическую оптимизацию изучают чистые математики и вычислители, которых интересует именно теоретическая, а не инженерная сторона вопросов.

У математических методов оптимизации тоже есть характеристики, которые позволяют оценить их эффективность: насколько быстро они сходятся, насколько устойчивы, насколько сложные формы и топологии позволяют получить. Здесь развивается абстрактная теория о существовании и единственности подобных решений. На текущий момент с математической стороны, по крайней мере в плане чистого вариационного исчисления, теория более-менее завершена, достаточно понятны все основные формулировки оптимизации формы и оптимизации топологии, их свойства и способы решения.

Активно развиваются области, связанные с методами быстрой оптимизации. Одной математической постановки недостаточно: нужно реализовать эту постановку и научить компьютер быстро решать задачу. И в этой области сейчас сосредоточены очень большие усилия как теоретического, так и технического характера. Как создать параллельный алгоритм оптимизации для распределенных вычислений? Как уменьшить число степеней свободы? В численном решении рано или поздно все сводится к системе линейных уравнений, которую тоже надо как-то решать. По возможности она должна как-то удобно решаться — не школьным методом Гаусса, который требует число операций, пропорциональное кубу числа неизвестных, а быстрее. В этой области сейчас сосредоточены основные усилия математиков-прикладников.

Один из интересных трендов последних лет — использование топологически оптимальных конструкций в дизайне и архитектуре. Это делается не из желания сэкономить, а скорее из эстетических соображений. Топологическая оптимизация обычно приводит к конструкциям, похожим на естественные структуры — гладким, без концентрации напряжения, то, что называют bionic design. Еще одно модное направление — топологическая оптимизация в природе, в том числе неживой. Это естественные процессы, которые эквивалентны математической оптимизации. Эти результаты активно популяризируются среди инженеров. Ведь и сегодня далеко не все из них знают о существовании топологической оптимизации.

Читать дальше
Twitter
Одноклассники
Мой Мир

материал с postnauka.ru

1

      Add

      You can create thematic collections and keep, for instance, all recipes in one place so you will never lose them.

      No images found
      Previous Next 0 / 0
      500
      • Advertisement
      • Animals
      • Architecture
      • Art
      • Auto
      • Aviation
      • Books
      • Cartoons
      • Celebrities
      • Children
      • Culture
      • Design
      • Economics
      • Education
      • Entertainment
      • Fashion
      • Fitness
      • Food
      • Gadgets
      • Games
      • Health
      • History
      • Hobby
      • Humor
      • Interior
      • Moto
      • Movies
      • Music
      • Nature
      • News
      • Photo
      • Pictures
      • Politics
      • Psychology
      • Science
      • Society
      • Sport
      • Technology
      • Travel
      • Video
      • Weapons
      • Web
      • Work
        Submit
        Valid formats are JPG, PNG, GIF.
        Not more than 5 Мb, please.
        30
        surfingbird.ru/site/
        RSS format guidelines
        500
        • Advertisement
        • Animals
        • Architecture
        • Art
        • Auto
        • Aviation
        • Books
        • Cartoons
        • Celebrities
        • Children
        • Culture
        • Design
        • Economics
        • Education
        • Entertainment
        • Fashion
        • Fitness
        • Food
        • Gadgets
        • Games
        • Health
        • History
        • Hobby
        • Humor
        • Interior
        • Moto
        • Movies
        • Music
        • Nature
        • News
        • Photo
        • Pictures
        • Politics
        • Psychology
        • Science
        • Society
        • Sport
        • Technology
        • Travel
        • Video
        • Weapons
        • Web
        • Work

          Submit

          Thank you! Wait for moderation.

          Тебе это не нравится?

          You can block the domain, tag, user or channel, and we'll stop recommend it to you. You can always unblock them in your settings.

          • PostNauka
          • математика
          • университет
          • домен postnauka.ru

          Get a link

          Спасибо, твоя жалоба принята.

          Log on to Surfingbird

          Recover
          Sign up

          or

          Welcome to Surfingbird.com!

          You'll find thousands of interesting pages, photos, and videos inside.
          Join!

          • Personal
            recommendations

          • Stash
            interesting and useful stuff

          • Anywhere,
            anytime

          Do we already know you? Login or restore the password.

          Close

          Add to collection

             

            Facebook

            Ваш профиль на рассмотрении, обновите страницу через несколько секунд

            Facebook

            К сожалению, вы не попадаете под условия акции