html текст
All interests
  • All interests
  • Design
  • Food
  • Gadgets
  • Humor
  • News
  • Photo
  • Travel
  • Video
Click to see the next recommended page
Like it
Don't like
Add to Favorites

Математика для безнадёжных гуманитариев. Урок 7

Вот уже почти три месяца в Фейсбуке существует группа с эмоциональным названием «Математика — великая и ужасная!». Здесь этой непростой науке учат взрослых гуманитариев.

Группу ведут профессор математики Нелли Литвак и журналист Алла Кечеджан. Нелли, как положено профессору, даёт задания и разбирает решения, помогая добраться до сути. А Алла, как и положено журналисту, задаёт вопросы и придумывает свои примеры, чтобы общение в группе развивалось и приближало всех к пониманию Великой и Ужасной Математики.

Image
Image

Например, представим, что два товара (или продукта) описываются с помощью десяти параметров (или свойств), которые каким-то образом выражены в числах, как было в задании на предыдущем уроке.

На уже знакомом рисунке 2 — свойства (параметры) товаров Х и У. Числа x1, x2,…x10 — это свойства товара Х, а числа у1, у2,…у10 — это свойства товара У. В предыдущем задании я вас попросила придумать, как измерять «расстояние» между двумя товарами. То есть нам нужна какая-то метрика, которая была бы маленькой, если товары похожи или «близки» друг у другу, и большой — если товары очень разные или «далеки» друг от друга.  

Image

Как математики подходят к задачам, где надо «посчитать то, не знаю, что»? Обычно мы пользуемся двумя вещами: абстракцией и здравым смыслом. Исходя из здравого смысла, мы должны понять, что же такое «расстояние». Если подумать, то свойств у расстояния не так уж много:

  • Расстояние не бывает отрицательным.    
  • Расстояние от объекта до самого себя равно нулю, а до любого другого объекта расстояние больше нуля.
  • Расстояние от А до В равно расстоянию обратно, от В до А.
  • Путь по прямой от А до В не может быть длиннее, чем через любую точку С. Это так называемое «правило треугольника», см. рисунок 3.
Image

Это всё, что мы можем сказать о расстоянии. Естественно, наше нормальное расстояние в трёхмерном пространстве, которое мы меряем по линейке и вычисляем по теореме Пифагора (рис. 1), соответствует всем этим пунктам. Собственно, это привычное пространство и послужило источником вдохновения для описания всех этих свойств.

И мы начинаем подозревать, что такими свойствами могут обладать не одно, а много определений «расстояния».

Чтобы записывать разные расстояния, нам понадобится понятие «модуль» — это расстояние от числа до нуля, оно всегда положительное. 

Записывается модуль с помощью двух палочек: |x| — это модуль числа х. Нам модуль понадобится, чтобы посчитать разницу между числами. Например, разница между 2 и 5 равна 3. Записывается это так:

|5-2|=|2-5|=3  

Image

При попытке 1 мы попытались сделать что-то похожее на теорему Пифагора. Но это неудачно, потому что для каждого товара мы складываем все его параметры в квадрате, а не сравниваем товары по каждому параметру. В результате у нас может получиться два разных продукта на расстоянии ноль, как будто это один и тот же продукт!

Попытка 2 тоже неудачная. Мы сравниваем товары только по третьему параметру, а остальное игнорируем. В результате опять расстояние между разными продуктами может получиться ноль.

Ха-ха, оказывается, выбор довольно ограниченный!   

В математике очень распространено измерение расстояния с помощью так называемой «метрики Lp», см. рисунок 5. Разница между каждым параметром берётся по модулю, возводится в степень p, всё это складывается, и из суммы извлекается корень р. Очень естественная метрика L1 — это просто сумма разниц между координатами.  

Image

Ещё одна интересная метрика — L-бесконечность, внизу на рисунке 5. Когда р становится очень большим, то самая большая из всех разниц, возведённая в огромную степень, будет доминировать над всеми остальными слагаемыми. В пределе, если р растёт до бесконечности, у нас получится вот такая метрика: возьмите разницу по всем свойствам и выберите самую большую из них. Это и будет расстояние между двумя товарами. 

И всё-таки самая знаменитая и самая любимая во многих приложениях — это метрика L2. Посмотрите на рисунок. Это же в точности теорема Пифагора!  

ЗАДАНИЕ. 1. Посчитайте расстояния L1, L-бесконечность и L2 для товаров с тремя свойствами на рисунке 4.

2. Представьте два товара в виде двух точек трёхмерного пространства и убедитесь, что метрика L2 совпадает с обычным расстоянием, которое мы считаем по теореме Пифагора. 

3. Убедитесь, что L1, L-бесконечность дадут другой ответ. Это не то расстояние, которое вы измерите линейкой. Тем не менее, это тоже разумное и возможное определение расстояния!

Image

Где ещё, кроме онлайн-магазинов, нам нужны расстояния в многомерном пространстве, типа L1, L2, L-бесконечность?

Эти метрики появились задолго до Интернета. Многомерные пространства возникают, если нам нужно решить большое количество уравнений с большим количеством неизвестных.

Эти уравнения могут описывать любую реальную систему: технологический процесс, экономическую систему или систему коммуникации.

Очень часто решить эти уравнения и записать ответ с помощью формул просто невозможно. Тогда их решают с помощью последовательных приближений. При каждом приближении получается ответ — значения всех переменных. Вопрос: останавливаться на этом ответе или считать следующее приближение?

Чтобы ответить на этот вопрос, обычно меряют расстояние между полученным ответом и предыдущим. (Для этого часто пользуются метрикой L1). Если расстояние маленькое, значит, дальнейшие приближения ответ сильно не изменят, и можно остановиться.  

И именно таким способом создатели Google впервые посчитали знаменитый PageRank. Для каждой веб-страницы они нашли число (PageRank страницы), которое характеризует, насколько «важная» эта страница. PageRank был одним из решающих факторов в колоссальном успехе Google.

Image

Это всегда можно сделать. Например, цвет в принципе можно выразить с помощью трёх параметров: интенсивность красного, зеленого и синего. Это знаменитая шкала RGB. А можно разбить цвета чисто визуально на категории (красный, чёрный, синий и т.д.)

А вот как выбрать параметры и перевести их в одну шкалу? Это совсем нетривиально и зависит от важности каждого параметра. Тут одной математикой не обойтись, нужно профессиональное мнение продавцов и маркетологов.

Подобные вопросы возникают во всех приложениях, например, в логистике. Что оптимизировать: товарооборот, своевременность доставки, расписание персонала? И если всё вместе — то в каких соотношениях?  

Чтобы по-настоящему решать такие задачи реального мира, математики должны работать с практиками, профессионалами в конкретной сфере. Найти всем общий язык не всегда легко, но по-другому эти проблемы не решить. В книге «Кому нужна математика» мы рассказываем об этом на примере составления расписаний железных дорог Нидерландов (глава 2).  

Посмотрите, какой путь мы прошли! Мы начали с доказательства теоремы Пифагора, узнали про производную, интеграл и многомерные пространства. Обнаружили, что поисковую строчку Google можно использовать как калькулятор, а графики можно строить прямо онлайн с помощью Wolfram Alpha.

Пифагор научил нас считать расстояния по прямой на плоскости. Это то самое расстояние, которое можно померить линейкой.

Казалось бы, вот и всё: расстояние на плоскости по прямой — это очень простая вещь. Что ещё тут можно придумать?

Но когда люди в 17-м веке изобрели математический анализ, интегралы и производные, то с помощью теоремы Пифагора они научились считать длину пути по кривой.

А когда понадобились расстояния в многомерных пространствах, где линейкой вообще ничего не измеришь, люди придумали абстрактное понятие «расстояния», которое называется метрикой. И по-прежнему наша любимая метрика — это многомерное обобщение теоремы Пифагора. И мы можем её использовать, чтобы посчитать, насколько похожи товары в онлайн-магазинах!  

Image

Пифагор жил задолго до матанализа и онлайн-магазинов. Он чертил фигуры на плоскости. И в результате научил нас понимать и измерять любые расстояния. С чем может сравниться такое великое наследие?

Эту фразу я слышала в одном из TED-talk, и она нам сейчас необычайно подходит: «Если Вы хотите, чтобы Ваш подарок был вечен, не дарите бриллианты. Подарите Теорему!»  

Image
Читать дальше
Twitter
Одноклассники
Мой Мир

материал с newtonew.com

8

      Add

      You can create thematic collections and keep, for instance, all recipes in one place so you will never lose them.

      No images found
      Previous Next 0 / 0
      500
      • Advertisement
      • Animals
      • Architecture
      • Art
      • Auto
      • Aviation
      • Books
      • Cartoons
      • Celebrities
      • Children
      • Culture
      • Design
      • Economics
      • Education
      • Entertainment
      • Fashion
      • Fitness
      • Food
      • Gadgets
      • Games
      • Health
      • History
      • Hobby
      • Humor
      • Interior
      • Moto
      • Movies
      • Music
      • Nature
      • News
      • Photo
      • Pictures
      • Politics
      • Psychology
      • Science
      • Society
      • Sport
      • Technology
      • Travel
      • Video
      • Weapons
      • Web
      • Work
        Submit
        Valid formats are JPG, PNG, GIF.
        Not more than 5 Мb, please.
        30
        surfingbird.ru/site/
        RSS format guidelines
        500
        • Advertisement
        • Animals
        • Architecture
        • Art
        • Auto
        • Aviation
        • Books
        • Cartoons
        • Celebrities
        • Children
        • Culture
        • Design
        • Economics
        • Education
        • Entertainment
        • Fashion
        • Fitness
        • Food
        • Gadgets
        • Games
        • Health
        • History
        • Hobby
        • Humor
        • Interior
        • Moto
        • Movies
        • Music
        • Nature
        • News
        • Photo
        • Pictures
        • Politics
        • Psychology
        • Science
        • Society
        • Sport
        • Technology
        • Travel
        • Video
        • Weapons
        • Web
        • Work

          Submit

          Thank you! Wait for moderation.

          Тебе это не нравится?

          You can block the domain, tag, user or channel, and we'll stop recommend it to you. You can always unblock them in your settings.

          • newtonew
          • домен newtonew.com

          Get a link

          Спасибо, твоя жалоба принята.

          Log on to Surfingbird

          Recover
          Sign up

          or

          Welcome to Surfingbird.com!

          You'll find thousands of interesting pages, photos, and videos inside.
          Join!

          • Personal
            recommendations

          • Stash
            interesting and useful stuff

          • Anywhere,
            anytime

          Do we already know you? Login or restore the password.

          Close

          Add to collection

             

            Facebook

            Ваш профиль на рассмотрении, обновите страницу через несколько секунд

            Facebook

            К сожалению, вы не попадаете под условия акции