html текст
All interests
  • All interests
  • Design
  • Food
  • Gadgets
  • Humor
  • News
  • Photo
  • Travel
  • Video
Click to see the next recommended page
Like it
Don't like
Add to Favorites

Двумерная конформная теория поля

Физик Михаил Берштейн о модели Изинга, теории струн и двумерных многообразиях

Вместе со Сколковским институтом науки и технологий мы сняли курс «Современная математическая физика», посвященный актуальным физическим теориям и их объяснению при помощи математических методов. В этой лекции преподаватель магистерской программы «Математическая физика» Сколтеха Михаил Берштейн рассказывает о фазовых переходах и модели Изинга.

Хотите учиться в Сколтехе? Оставьте заявку, и мы свяжемся с вами

Я расскажу о двумерной конформной теории поля и ее связях с другими областями. Поскольку у нас нет формул и картинок, я буду концентрироваться на ключевых словах и взаимоотношениях между этими ключевыми понятиями. Этих связей довольно много, я постараюсь упомянуть значительную их часть. Но хорошая новость в том, что они в некотором смысле относятся к разным направлениям, и поэтому, если какая-то нить осталась непонятной, это не беда. Это не помешает понять следующую связь.

Двумерная конформная теория поля возникла в 1970-е годы. Стоит начать с двух физических причин, физических теорий, из которых она произошла. Первая из них ― это фазовые переходы в двумерных статистических моделях. Здесь архетипический пример ― это так называемая модель Изинга. Представим, что у нас есть двумерная решетка, то есть просто точки с целыми координатами. И в каждой точке у нас есть спин, вверх или вниз ― можно ставить +1 и -1, и такая расстановка называется конфигурацией. Энергия конфигурации ― это сумма произведений по всем парам соседей этих +1 и -1. Можно умножить еще на какую-то константу связи. Статсумма ― это сумма по всем возможным конфигурациям, то есть по всем возможным расстановкам +1 и -1, экспонента минус β умножить на энергию этой конфигурации; β ― это параметр, который имеет следующий смысл: 1 разделить на температуру системы. Это константа связи, параметр системы. Необязательно брать двухмерную решетку, можно и трехмерную, чтобы это было больше похоже на наш мир. Но и двухмерная тоже неплоха, бывают такие пленчатые поверхности,

Оказывается, что в этой двумерной модели Изинга есть фазовый переход. Иными словами, есть такое специальное значение β или температуры, при котором поведение системы меняется. До этого мы находимся в одной фазе, в которой всем этим спинам выгодно быть в одном и том же направлении ― всем вверх или всем вниз. А после этого они как бы уже случайно распределены ― вверх и вниз. То есть если вы возьмете большую область, там будет поровну спинов, направленных вверх и вниз. И смена фазы ― переход от антиферромагнитной фазы ― происходит при некоторой зафиксированной температуре ― критической температуре. Это такое замечательное явление, фазовый переход, которое нужно изучать аналитически: точно найти температуру и так далее. Можно еще сказать, что основные физические величины системы, как функция от этого параметра T в точке T = Tкр, перестают быть гладкими функциями, они становятся недифференцируемыми. Это математическое выражение фазового перехода.

Оказывается, что критическая точка этой статистической системы является конформно инвариантной. В физике это гипотеза, принадлежащая Полякову, а в математике — теорема Станислава Смирнова. Конформные преобразования ― это такие преобразования (в данном случае двумерные), которые сохраняют углы между прямыми в точках пересечения. Все мы знаем обычные преобразования: растяжения, сдвиги, повороты, вращения. А здесь мы имеем больший класс преобразований. К ним добавляется, например, инверсия, которая неформально определяется как симметрия относительно окружности. Кроме того, в двумерии есть гораздо больше конформных преобразований ― имеются в виду локальные, а не глобальные преобразования. И это эффект именно двумерии, что получается бесконечномерная группа конформных преобразований.

Об этом удобно думать, если сказать, что наша двумерная вещественная картинка ― это одномерная комплексная картинка. Тогда можно говорить, что у нас есть комплексная координата z и сопряженная z|. И это бесконечная группа. Это просто голоморфные преобразования этой комплексной структуры. То есть функция, выражающаяся чисто от z и не зависящая от z|. Эта группа может делать очень много. Например, любую связную область на плоскости без дырок (из одного куска) она может превратить в круг. Благодаря наличию этой бесконечномерной группы (правильно говорить ― алгебры) удается очень много в этой теории найти ― в частности, в этой теории, связанной с моделью Изинга.

Я сразу сказал, что есть несколько физических источников для конформной теории поля. Я уже сказал про статистические модели. Другой источник, который я кратко упомянул, ― это теория струн. Обычно в физике мы рассматриваем какие-то частицы, которые двигаются в нашем пространстве или в пространстве-времени. В зависимости от времени точка приобретает какую-то кривую. Струны ― это когда фундаментальный объект в нашем пространстве-времени не частица, а одномерные объекты, то есть отображение чего-то одномерного. Бывают замкнутые струны, когда это отображение окружности, бывают открытые струны, когда это отображение отрезка, и это неважно. Это отображение чего-то одномерного. И когда у нас происходит эволюция по времени, то это одномерное уже «заметает» что-то двумерное. То есть можно говорить, что у нас получается отображение какого-то двумерного пространства ― сферы, тора или какого-то другого двумерного многообразия ― в наше пространство-время.

Или можно переиначить: можно встать на точку зрения этого двумерного многообразия и сказать, что у нас на нем возникают какие-то поля со значением нашего пространства-времени. В квантовой теории дальше берется функциональный интеграл по всем возможным таким отображениям и по всем возможным таким поверхностям с метриками. Если убрать так называемые конформные калибровки, возникает конформная теория ― теория Лиувилля.

Обычно, когда говорят про физику, то пишут какой-то лагранжиан или гамильтониан. В конформной теории в некоторых случаях так можно сделать, но часто ― нет. И обычно, когда про нее говорят, говорят, что мы работаем в негамильтоновом подходе, идущем опять же от Полякова, Вильсона, Каданова. В этом негамильтоновом подходе фундаментальным объектом являются поля нашей теории, и на них дополнительные структуры ― структуры слияния. Когда два поля сливаются, подходят в одну точку, то они как бы перерождаются в какую-то комбинацию других полей, и это — структура слияния (как еще можно говорить, структура операторного разложения). И все это пространство полей является представлением некоторой бесконечномерной алгебры ― алгебры, о которой я говорил, алгебры, которая происходит из группы конформных преобразований, алгебры Вирасоро.

Основной градиент ― это теория представлений этой алгебры. Если говорить аккуратнее, то возникающая алгебра, происходящая из голоморфных преобразований в окрестности точки, ― это алгебра голоморфных векторных полей в окрестности точки, когда мы рассматриваем поля в окрестности точки. Если еще аккуратнее, то это голоморфные векторные поля на проколотой окрестности точки. То есть координатные можно описать в виде zn*d/dz, где n ― это целое число. То есть мы разрешили быть отрицательным, разрешили особенность в этой точке.

По некоторым причинам коммутатор этих векторных полей немного меняется, совсем чуть-чуть, но это важно. Добавляется один комплексный параметр, который называется центральным зарядом. И алгебра после этого начинает называться не алгеброй векторных полей, а алгеброй Вирасоро. Алгебра Вирасоро ― это симметрия конформной теории поля. В таком виде это было сформулировано в 1970-е годы, а уж совсем сформулировано было в работе Белавина, Полякова, Замолодчикова в начале 1980-х годов, где, помимо этого, был предложен некоторый класс этих конформных теорий симметрии алгебры Вирасоро, так называемых минимальных моделей. Этот класс замечателен тем, что при помощи просто этой симметрии и теории представлений алгебры Вирасоро, которая как раз к тому моменту была развита (сейчас я это прокомментирую), удалось эту теорию в принципе решить, то есть найти все возможные корреляционные функции в них, основываясь просто на симметрии алгебры Вирасоро. В частности, модель Изинга является простейшим, можно сказать, самым первым нетривиальным примером этих минимальных моделей.

Я сказал про теорию представлений. Здесь мы переходим к связям с математикой. Первое ― это теория представлений бесконечномерных алгебр Ли. Я упомянул алгебру Вирасоро. Бывают, конечно, и другие алгебры симметрии конформной теории, например так называемая аффинная алгебра Каца ― Муди. Полная математическая структура, которая стоит за этой симметрией, называется вертексная алгебра. Это даже не алгебра Ли, а нечто такое, что возникает из конформной теории. Так получилось, что эта наука тоже развивалась в то же самое время ― с конца 1970-х годов. В начале 1980-х был большой подъем этой науки, и сначала она называлась независимо. А потом люди поняли, что это связано с конформной теорией поля, и в этой науке прошел большой бум. Каждый год писались сотни работ на эту тему, и было открыто много разных связей. В математике это оказалось связано с квантовыми группами, а через них ― с инвариантами узлов. Еще я хочу упомянуть группу-монстр ― самую большую конечную простую группу, для доказательства свойств которой тоже понадобились эти вертексные алгебры.

Хочется упомянуть про теорию представлений: одна из причин, по которой люди начали ее активно изучать, была ее связь с комбинаторикой. При помощи теории представлений удавалось доказывать комбинаторные тождества, так называемые тождества Макдональда. А корреляционные функции, наоборот, оказались замечательными специальными функциями. Они имеют модулярные свойства в силу того, что конформная теория может жить на торе, в котором действует группы z2z. Можно сказать, что получился новый класс специальных функций.

Как я сказал, был большой бум с конца 1980-х — в самом начале 1990-х годов. Сейчас этот бум уже прошел, основы конформной теории поля уже устоялись, и сейчас это скорее элемент общего образования. Это такая немного алгебраически ориентированная математическая физика, которая применяется в разных других сферах. По части связей я упомяну два относительно свежих результата. В 2009 году было предложено так называемое AGT-соответствие (название по первым буквам имен предложивших физиков ― Алди, Гайотто и Тачикава), которое говорило, что эти корреляционные функции к этой конформной теории поля равны статсуммам уже не в двумерной, а в четырехмерных теориях ― калибровочных суперсимметричных теориях, основанных еще на результатах Некрасова. Математически это связано с тем, что эта бесконечномерная алгебра каким-то хитрым образом возникает в этих четырехмерных теориях, действует на каких-то расслоениях в этих четырехмерных теориях.

И еще я, пожалуй, упомяну, что недавно обнаружена связь этих корреляционных функций конформной теории поля с задачей изомонодромной деформации ― проблемы Римана ― Гильберта. Это, может, не так широко, но ближе к тому, чем лично я занимаюсь, поэтому хочу упомянуть. В целом я пытался сказать, что это богатая область современной математической физики с очень большим числом связей с разными областями. И лично для меня самым интересным представляется то, что мы можем об одних и тех же объектах говорить на разных языках, смотреть на них с разных сторон.

Читать дальше
Twitter
Одноклассники
Мой Мир

материал с postnauka.ru

2

      Add

      You can create thematic collections and keep, for instance, all recipes in one place so you will never lose them.

      No images found
      Previous Next 0 / 0
      500
      • Advertisement
      • Animals
      • Architecture
      • Art
      • Auto
      • Aviation
      • Books
      • Cartoons
      • Celebrities
      • Children
      • Culture
      • Design
      • Economics
      • Education
      • Entertainment
      • Fashion
      • Fitness
      • Food
      • Gadgets
      • Games
      • Health
      • History
      • Hobby
      • Humor
      • Interior
      • Moto
      • Movies
      • Music
      • Nature
      • News
      • Photo
      • Pictures
      • Politics
      • Psychology
      • Science
      • Society
      • Sport
      • Technology
      • Travel
      • Video
      • Weapons
      • Web
      • Work
        Submit
        Valid formats are JPG, PNG, GIF.
        Not more than 5 Мb, please.
        30
        surfingbird.ru/site/
        RSS format guidelines
        500
        • Advertisement
        • Animals
        • Architecture
        • Art
        • Auto
        • Aviation
        • Books
        • Cartoons
        • Celebrities
        • Children
        • Culture
        • Design
        • Economics
        • Education
        • Entertainment
        • Fashion
        • Fitness
        • Food
        • Gadgets
        • Games
        • Health
        • History
        • Hobby
        • Humor
        • Interior
        • Moto
        • Movies
        • Music
        • Nature
        • News
        • Photo
        • Pictures
        • Politics
        • Psychology
        • Science
        • Society
        • Sport
        • Technology
        • Travel
        • Video
        • Weapons
        • Web
        • Work

          Submit

          Thank you! Wait for moderation.

          Тебе это не нравится?

          You can block the domain, tag, user or channel, and we'll stop recommend it to you. You can always unblock them in your settings.

          • PostNauka
          • математика
          • физика
          • эволюция
          • домен postnauka.ru

          Get a link

          Спасибо, твоя жалоба принята.

          Log on to Surfingbird

          Recover
          Sign up

          or

          Welcome to Surfingbird.com!

          You'll find thousands of interesting pages, photos, and videos inside.
          Join!

          • Personal
            recommendations

          • Stash
            interesting and useful stuff

          • Anywhere,
            anytime

          Do we already know you? Login or restore the password.

          Close

          Add to collection

             

            Facebook

            Ваш профиль на рассмотрении, обновите страницу через несколько секунд

            Facebook

            К сожалению, вы не попадаете под условия акции