html текст
All interests
  • All interests
  • Design
  • Food
  • Gadgets
  • Humor
  • News
  • Photo
  • Travel
  • Video
Click to see the next recommended page
Like it
Don't like
Add to Favorites

MATLAB и быстрое преобразование Фурье из песочницы

По работе неоднократно сталкивался с необходимостью быстро определить наличие в сигнале гармонических составляющих. Часто для примерной оценки достаточно воспользоваться алгоритмом быстрого преобразования Фурье. Тем более, что его реализации есть практически во всех математических пакетах и библиотеках, да и собственноручно реализовать не составит особого труда. Между тем, опыт показывает, что, при всей своей простоте, метод начинает вызывать некоторые вопросы, когда возникает необходимость не просто посмотреть наличие дискреток в сигнале, но и выяснить их абсолютные значения, т.е. нормализовать полученный результат.

В этой статье я постараюсь объяснить, что же все-таки выдает в качестве результата fft (Fast Fourier transform) на примере MATLAB (и в качестве бонуса проведу небольшой ликбез по этому весьма полезному, на мой взгляд, языку).

MATLAB позволяет не заморачиваться с ручным удалением ненужных объектов, однако, при работе с более менее объемными массивами данных, имеет привычку капризничать и жаловаться на недостаток памяти. Для освобождения памяти используется процедура clear с указанием имени объекта, который необходимо удалить.

С этого и начнем. Так как все необходимое мы сгенерируем самостоятельно, можно смело удалять все, что накопилось в рабочем пространстве за активную сессию, просто добавив ключевое слово all:

clear all% Очистка памяти

Итак, прежде всего, зададим исходные данные для нашей модели. Фурье анализ идеально подходит для выделения гармонических сигналов на фоне помех. Для того чтобы продемонстрировать это, возьмем в качестве сигнала сумму некоторой постоянной и двух синусоид с разной частотой и амплитудой. Дисперсию шума возьмем в 3 раза больше амплитуды первой синусоиды. Так же зададим количество частотных полос, которые должен будет посчитать fft алгоритм. Точка с запятой в конце строк не обязательна, и если ее не ставить, результат вычисления функций и задания переменных будет дублироваться в командную строку, что можно использовать для отладки кода (однако, 512 значений сплошным полотном в командной строке вряд ли помогут вам, тем более что их вывод тоже занимает некоторое количество времени, так что все же лучше не забывать закрывать строки).

%% Параметры
Tm=5;% Длина сигнала (с)
Fd=512;% Частота дискретизации (Гц)
Ak=0.5;% Постоянная составляющая (Попугаев)
A1=1;% Амплитуда первой синусоиды (Попугаев)
A2=0.7;% Амплитуда второй синусоиды (Попугаев)
F1=13;% Частота первой синусоиды (Гц)
F2=42;% Частота второй синусоиды (Гц)
Phi1=0;% Начальная фаза первой синусоиды (Градусов)
Phi2=37;% Начальная фаза второй синусоиды (Градусов)
An=3*A1;% Дисперсия шума (Попугаев)
FftL=1024;% Количество линий Фурье спектра


MATLAB (Matrix Laboratory), как следует из названия, предназначен прежде всего для работы с массивами, практически все алгоритмы счета в нем оптимизированы для работы с векторами. Обилие удобных инструментов работы так же ненавязчиво подталкивает представлять как можно больше исходных данных в виде матриц. В частности, можно легко сгенерировать массив возрастающих (убывающих) величин с заданным шагом (1\Fd в данном примере):

%% Генерация рабочих массивов
T=0:1/Fd:Tm;% Массив отсчетов времени


Случайный Гауссов шум задается функцией randn, результатом которой является массив размерности, заданной в ее параметрах. Для единообразия зададим его в виде строки (первый параметр 1) длиной соответствующей длине нашего массива отсчетов времен, что в свою очередь вычислим функцией length.

Noise=An*randn(1,length(T));% Массив случайного шума длиной равной массиву времени

Символ * используется для обозначения перемножения. Т.к. чаще всего действия производятся над векторами, то и умножение подразумевается векторное, но так же легко можно, не перегружая этот оператор, использовать его для поэлементного перемножения, добавив перед ним точку (.*). При умножении вектора на скаляр точка перед умножением не является обязательной. Также добавленная точка сделает поэлементным возведение в степень и деление.

Signal=Ak+A1*sind((F1*360).*T+Phi1)+A2*sind((F2*360).*T+Phi2);% Массив сигнала (смесь 2х синусоид и постоянной составляющей)

Теперь перейдем к тому, ради чего и затевалась данная статья — функции fft(). Аргументами стандартной функции MATLAB являются сам сигнал (в нашем случае Signal), размерность вектора-результата (FftL), а также измерение.
Последний аргумент определяет вдоль какого измерения располагается сигнал в случае если на вход подается многомерный массив (Иногда этот параметр ошибочно принимают за размерность преобразования Фурье, но это не так. Хотя в MATLAB есть реализации 2-хмерного fft2() и многомерного fftn() алгоритмов). Так как наш сигнал представляет собой вектор, то его вполне можно опустить.
Рассмотрим сначала сигнал без примеси шума. В качестве результата мы получим вектор комплексных чисел. Это и есть представление нашего сигнала в частотном домене в показательной форме. Т.е. модули этих комплексных чисел представляют амплитуды соответствующих частот (точнее полосы частот см. дальше), а аргументы – их начальные фазы. И если полученная фаза, однозначно вычисляется в радианах, то с амплитудой и частотами не все так просто.
Например, если мы просто применим к нашему сигналу преобразование Фурье, и возьмем абсолютные значения вектора на выходе, то получим приблизительно следующую картинку:

image

Для построения двухмерных графиков удобно использовать функцию plot. Основные параметры, используемые в этой функции – одномерные массивы точек, первый задает ось ординат, второй – значение функции в соответствующих точках. Если передать только один массив, то он будет отображен с фиксированным шагом 1.
Если присмотреться к полученной картинке выяснится, что она несколько отличается от наших ожиданий. На приведенном графике 5 пиков вместо ожидаемых 3х (постоянная + 2 синусоиды), их амплитуды не совпадают с амплитудами исходных сигналов, и ось абсцисс вряд ли отображает частоты.

Прежде всего, следует учитывать, что счет алгоритма устроен таким образом, что перебираются не только положительные, но и отрицательные частоты и правая часть графика является «зеркальным» отображением реального спектра. Т.е. на самом деле 0 (которому соответствует постоянная часть сигнала) должен приходиться на середину массива. Ситуацию можно поправить, совершив циклический сдвиг на половину длины массива. Для этих целей, в MATLAB существует функция сдвига fftshift(), смещающая первый элемент в середину массива:

image

Теперь обратим внимание на ось значений.
Согласно теореме отсчетов (так же известной как теорема Найквиста-Шеннона или более патриотично теорема Котельникова) спектр дискретного сигнала будет ограничен половиной частоты дискретизации (Fd). Или в нашем случае –Fd/2 слева и Fd/2 справа. Т.е. весь полученный массив покрывает Fd частот. Отсюда, учитывая что мы знаем (вернее даже самостоятельно задали в качестве параметра) длину массива, получим частоты в виде массива значений от –Fd/2 до Fd/2 с шагом Fd/FftL (на самом деле крайняя правая частота будет меньше границы на один отсчет т.е. Fd/2-Fd/FftL):

image

Если посмотреть на фазы частот, можно заметить, что они равны отрицательным фазам соответствующих отрицательных частот. Учитывая равенство амплитуд левой и правой частей спектра и соответствие их фаз с точностью до знака, весь спектр будет эквивалентен своей положительной части с удвоенной амплитудой. Исключение составляет только 0 элемент, который не имеет зеркальной половины. Таким образом, можно избавиться от «непонятных» и зачастую ненужных отрицательных частот. Это можно было сделать сразу просто отбросив конец исходного массива и помножив оставшиеся элементы на 2 (за исключением постоянной составляющей):

image

Теперь это уже похоже на тот результат, который мы ожидаем. Единственное, что смущает теперь – это амплитуды. С этим все достаточно просто. Т.к. быстрое преобразование Фурье фактически представляет собой суммирование сигнала перемноженного на ядро преобразования (комплексную экспоненту) для каждой из частот, то реальный результат будет меньше полученного ровно в количество суммирований (частот в результате), т.е. полученный результат надо разделить на количество элементов в результате (не забываем, что под результатом понимается весь ответ, вместе с отброшенной частью, т.е. наше заданное FftL):

image

Стоит упомянуть еще одну вещь. В спектральном представлении вычисляется не значение сигнала на той частоте на которую попал алгоритм (как мы помним частоты следуют с шагом Fd/FftL), а значение в полосе (шириной равной шагу). Т.е. если в эту полосу попало несколько дискреток, то они суммируются. Для примера можно уменьшить количество линий в результате работы алгоритма:

image

Однако это не означает, что стоит сразу бездумно увеличивать точность работы, т.к. это тоже приводит к негативным последствиям, т.к. если разрешение будет сопоставимо с частотой дискретизации сигнала, в спектр полезут гармоники «окна», которые имеют отношение не к реальному сигналу, а к его дискретному представлению:

image

Или более близко окрестности одной из дискреток:

image

Код для нормировки fft будет выглядеть приблизительно следующим образом:

%% Спектральное представление сигнала
FftS=abs(fft(Signal,FftL));% Амплитуды преобразования Фурье сигнала
FftS=2*FftS./FftL;% Нормировка спектра по амплитуде
FftS(1)=FftS(1)/2;% Нормировка постоянной составляющей в спектре
FftSh=abs(fft(Signal+Noise,FftL));% Амплитуды преобразования Фурье смеси сигнал+шум
FftSh=2*FftSh./FftL;% Нормировка спектра по амплитуде
FftSh(1)=FftSh(1)/2;% Нормировка постоянной составляющей в спектре


Нам осталось только вывести результаты. Функция subplot позволяет разбить окно на несколько областей для отображения графиков.

%% Построение графиков
subplot(2,1,1);% Выбор области окна для построения
plot(T,Signal);% Построение сигнала
title('Сигнал');% Подпись графика
xlabel('Время (с)');% Подпись оси х графика
ylabel('Амплитуда (Попугаи)');% Подпись оси у графика
subplot(2,1,2);% Выбор области окна для построения
plot(T,Signal+Noise);% Построение смеси сигнал+шум
title('Сигнал+шум');% Подпись графика
xlabel('Время (с)');% Подпись оси х графика
ylabel('Амплитуда (Попугаи)');% Подпись оси у графика

F=0:Fd/FftL:Fd/2-1/FftL;% Массив частот вычисляемого спектра Фурье
figure% Создаем новое окно
subplot(2,1,1);% Выбор области окна для построения
plot(F,FftS(1:length(F)));% Построение спектра Фурье сигнала
title('Спектр сигнала');% Подпись графика
xlabel('Частота (Гц)');% Подпись оси х графика
ylabel('Амплитуда (Попугаи)');% Подпись оси у графика
subplot(2,1,2);% Выбор области окна для построения
plot(F,FftSh(1:length(F)));% Построение спектра Фурье сигнала
title('Спектр сигнала');% Подпись графика
xlabel('Частота (Гц)');% Подпись оси х графика
ylabel('Амплитуда (Попугаи)');% Подпись оси у графика


Результат выполнения кода будет выглядеть следующим образом:

image

image

Несмотря на то, что полезного сигнала не видно на фоне шума, спектральная характеристика позволяет определить его частоту и амплитуду.

Надеюсь данный текст был вам полезен.
Читать дальше
Twitter
Одноклассники
Мой Мир

материал с habrahabr.ru

2

      Add

      You can create thematic collections and keep, for instance, all recipes in one place so you will never lose them.

      No images found
      Previous Next 0 / 0
      500
      • Advertisement
      • Animals
      • Architecture
      • Art
      • Auto
      • Aviation
      • Books
      • Cartoons
      • Celebrities
      • Children
      • Culture
      • Design
      • Economics
      • Education
      • Entertainment
      • Fashion
      • Fitness
      • Food
      • Gadgets
      • Games
      • Health
      • History
      • Hobby
      • Humor
      • Interior
      • Moto
      • Movies
      • Music
      • Nature
      • News
      • Photo
      • Pictures
      • Politics
      • Psychology
      • Science
      • Society
      • Sport
      • Technology
      • Travel
      • Video
      • Weapons
      • Web
      • Work
        Submit
        Valid formats are JPG, PNG, GIF.
        Not more than 5 Мb, please.
        30
        surfingbird.ru/site/
        RSS format guidelines
        500
        • Advertisement
        • Animals
        • Architecture
        • Art
        • Auto
        • Aviation
        • Books
        • Cartoons
        • Celebrities
        • Children
        • Culture
        • Design
        • Economics
        • Education
        • Entertainment
        • Fashion
        • Fitness
        • Food
        • Gadgets
        • Games
        • Health
        • History
        • Hobby
        • Humor
        • Interior
        • Moto
        • Movies
        • Music
        • Nature
        • News
        • Photo
        • Pictures
        • Politics
        • Psychology
        • Science
        • Society
        • Sport
        • Technology
        • Travel
        • Video
        • Weapons
        • Web
        • Work

          Submit

          Thank you! Wait for moderation.

          Тебе это не нравится?

          You can block the domain, tag, user or channel, and we'll stop recommend it to you. You can always unblock them in your settings.

          • kolexandr.13
          • домен habrahabr.ru

          Get a link

          Спасибо, твоя жалоба принята.

          Log on to Surfingbird

          Recover
          Sign up

          or

          Welcome to Surfingbird.com!

          You'll find thousands of interesting pages, photos, and videos inside.
          Join!

          • Personal
            recommendations

          • Stash
            interesting and useful stuff

          • Anywhere,
            anytime

          Do we already know you? Login or restore the password.

          Close

          Add to collection

             

            Facebook

            Ваш профиль на рассмотрении, обновите страницу через несколько секунд

            Facebook

            К сожалению, вы не попадаете под условия акции