html текст
All interests
  • All interests
  • Design
  • Food
  • Gadgets
  • Humor
  • News
  • Photo
  • Travel
  • Video
Click to see the next recommended page
Like it
Don't like
Add to Favorites

FAQ: Спор о струне

7 фактов о научной дискуссии вокруг изучения колебаний струны и определения понятия функции

Если сказать слово функция, большинство людей, скорее всего, вспомнят из школьной программы либо какие-то названия элементарных функций, типа тригонометрических функций – синус, косинус, экспонента, логарифм, либо задачи на построение графика функции. Мы думаем, например, в терминах функций, когда смотрим на котировки акций. Ведь, если вы видите кривую, которая показывает, как растет или падает курс акций в зависимости от времени, вы видите график функции. Другими словами функции повсюду.

1

Сегодня это понятие знакомо всем, даже тем, кто, так или иначе, не отдает себе отчет в этом. Однако сравнительно недавно, где-то 250 лет назад, в середине XVIII века наиболее крупные ученые человечества, естествоиспытатели, математики не обладали этим понятием в той мере, в какой им обладает сегодня каждый школьник, поскольку этого понятия практически ещё не существовало. История появления этого понятия очень поучительна.

Совершенно абстрактное математическое понятие – понятие функции – появилось в какой-то мере как ответ на вызов, который был поставлен практической задачей. А именно задачей о колебании струны. Если мы возьмем струну и оттянем ее в какой-то точке, а затем отпустим, как она будет дальше двигаться? Чтобы решить эту задачу, с математической точки зрения, ее нужно как-то формализовать.

Юшкевич А. П. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под
ред.- М.: Наука, 1972. - Т. III, математика XVIII столетия.- 495 с.

2

Что такое поведение струны? Что такое струна с математической точки зрения? Если мы рассмотрим функцию, когда у нас есть начальное положение струны (положение покоя), когда струна просто вытянута, нас будет интересовать отклонение струны от начального положения. Но понятно, что если струна у нас с закрепленными концами, то на концах отклонение всегда равно нулю. Например, где-то в середине оно может быть не нулевым. Более того, в разных точках оно может быть разным. Таким образом, положение струны в какой-то заданный момент времени является графиком некоторой функции. Мы можем представить себе, что мы положили струну в равновесии на ось Х, и тогда форма струны задается графиком некоторой функции в фиксированный момент времени. Если мы добавляем вторую координату, а именно время, мы рассматриваем функцию двух переменных, которая показывает нам в какой точке и в какой момент времени насколько сильно струна отклонена от положения равновесия. Для нас сейчас это понятие достаточно привычно.

Когда французский математик д`Аламбер написал соответствующее уравнение и написал его решение, он обнаружил, что это уравнение (одно из первых уравнений частных производных), зависит от начального условия, начального положения струны. Но, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, от анализа одной переменной, в данном случае в качестве начального условия выступала произвольная функция. Но математики тогда не знали, что такое произвольная функция. И это вызвало существенные проблемы в интерпретации полученного решения. Решение написано, но это формула, которая включает в себя произвольную функцию.

Стиллвелл Дж. Математика и ее история. -Ижевск: Институт компьютерных исследований/РХД, 2004. -530 с.

3

В XVIII веке существовало два подхода к понятию функции. Первый подход восходил к Ньютону и его учителю Барроу. Он состоял в том, что функция – это переменная величина, которая меняется с течением времени. Второй подход восходил к Ферма, Декарту и Иоганну Бернулли и состоял в том, что функция – это какая-то формула, какой-то закон, который позволяет вычислять ее значение по каким-то правилам в зависимости от значения аргумента. То есть функция, по мнению Бернулли – это формула.

Сейчас мы привыкли к тому, что можно спокойно переходит от одного определения к другому, но в те времена это вызвало противоречия между д`Аламбером и Эйлером. Написав свое общее решение, д`Аламбер сказал, что входящая в него неизвестная абстрактная произвольная функция – это функция, которая задается какой-то формулой. На нее накладывались какие-то дополнительные условия, но тем не менее, это главным образом формула.

Тем не менее, с помощью какой-то формулы довольно трудно описать положение струны, которое кажется естественным. Например, когда струна отклонена от положения равновесия только на небольшом участке. Эйлер, в свою очередь, проведя примерно те же рассуждения, и придя к тому же результату, что и д`Аламбер, сказал, что входящая в него произвольная функция, это функция, которую имел ввиду Ньютон, некоторая кривая, которая может быть начертана свободным влечением руки. И отстаивал позицию о том, что именно такие функции являются правильными.

4

Сейчас мы, вероятней всего, согласились бы с утверждением Эйлера, однако в то время никаких математических методов работы с такими произвольными функциями не существовало. И д`Аламбер резонно возражал, что такие функции в принципе невозможно рассматривать в анализе. Дело в том, что до возникновения задачи о струне, задач с частными производными, видимо, не приходилось оперировать произвольными функциями. Их получали в результате действий с некоторыми простыми функциями естественным образом. Поэтому в результате они и были в виде формул. Математических методов, которые бы позволяли работать с произвольными функциями толком не существовало.

5

Третьим участником этого спора был Даниил Бернулли, сын Иоганна Бернулли. Он подошел к задаче с точки зрения физика и критиковал своих коллег за то, что решения, которые были ими предложены не имеют никакого отношения к реально звучащим струнам. Они прекрасны математически, говорил он, но причем здесь звучащая струна?
Он предложил свое решение, основанное на том, что положение струны в какой-то момент времени описывается тригонометрической функцией, например, синусом или синусом кратного аргумента. Если мы представим себе, как устроен график синуса X, – он устроен в виде двух «полуволн». Но, если рассмотрим график функции синус 2X, у него будет вдвое меньше период (он будет выглядеть как четыре «полуволны»). Бернулли предложил свое решение в виде суммы таких гармонических колебаний для струны. Ему казалось, что таким образом можно описать любую функцию. Но никакого математического доказательства у него не было. В связи с этим его решение подверглось критике, как очень частное.

Christensen T. Eighteenth-Century Science and the Corps Sonore: the Scientific Background to Rameau’s Principle of Harmony // Journal of Music Theory. — 1987. — Vol. 31. — P. 23—50.

6

Тем не менее, в начале XIX в. французский математик и физик Фурье, решая совсем другую задачу, связанную в распространением тепла, с одной стороны далекую от задачи колебания струны, а с другой стороны приводящую к уравнению частных производных, поэтому близкую математически, обнаружил и доказал, что очень широкий класс функций может быть предствлен в виде суммы тригонометрического ряда. Открыв свои знаменитые ряды Фурье, и, тем самым, примирив подходы Бернулии с подходами д`Аламбера и Эйлера.

Работы Фурье не поставили точку в споре о струне. Дело в том, что решение, которое получили д`Аламбер и Эйлер допускали следующий эффект – в них можно было поставить в качестве начального условия функцию, график которой имеет излом. С точки зрения анализа, это означает, что функция не имеет производной в точке излома. Тем не менее, решение уравнения с таким условием можно было получить. Но какой смысл дифференциального уравнения, у которого решение – недифференцируемая функция, тогда было совершенно непонятно. Ответ на этот вопрос был получен только в первой половине XX в. Соболевым и Шварцем. Соболевым было разработано понятие обобщенной функции, которое позволило рассматривать дифференциальные уравнения с такими негладкими решениями.

Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. -7-е изд. - М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. -798 с.

7

Мы видим, что математическое знание развивается параллельно с развитием наших знаний об окружающем мире. Другими словами происходит процесс взаимного обогащения – реальные, практические задачи превращаются в математические проблемы. Для решения этих проблем математики создают максимально абстрактные понятия, которые никак не связаны с реальным миром. Благодаря тому, что эти понятия чрезвычайно абстрактны, впоследствии они оказываются применимы в самых разных областях знаний. И такой процесс последовательного взаимного развития происходит непрерывно.

Следует отметить, что спор о струне оказался решением одного из самых простых уравнений частных производных – одномерного. Современная теория уравнений частных производных очень сложна. И даже простейшие вопросы, связанные с существованием и единственностью решений, ответы на эти вопросы получены только для достаточно узкого класса уравнений в частных производных. И даже эти вопросы (когда уравнения частных производных имеют решения), является открытым. Быть может, чтобы ответить на эти вопросы нам понадобится вводить какие-то новые математические понятие, математические объекты.

Илья Щуров

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики НИУ ВШЭ

Все материалы автора

Читать дальше
Twitter
Одноклассники
Мой Мир

материал с postnauka.ru

16

      Add

      You can create thematic collections and keep, for instance, all recipes in one place so you will never lose them.

      No images found
      Previous Next 0 / 0
      500
      • Advertisement
      • Animals
      • Architecture
      • Art
      • Auto
      • Aviation
      • Books
      • Cartoons
      • Celebrities
      • Children
      • Culture
      • Design
      • Economics
      • Education
      • Entertainment
      • Fashion
      • Fitness
      • Food
      • Gadgets
      • Games
      • Health
      • History
      • Hobby
      • Humor
      • Interior
      • Moto
      • Movies
      • Music
      • Nature
      • News
      • Photo
      • Pictures
      • Politics
      • Psychology
      • Science
      • Society
      • Sport
      • Technology
      • Travel
      • Video
      • Weapons
      • Web
      • Work
        Submit
        Valid formats are JPG, PNG, GIF.
        Not more than 5 Мb, please.
        30
        surfingbird.ru/site/
        RSS format guidelines
        500
        • Advertisement
        • Animals
        • Architecture
        • Art
        • Auto
        • Aviation
        • Books
        • Cartoons
        • Celebrities
        • Children
        • Culture
        • Design
        • Economics
        • Education
        • Entertainment
        • Fashion
        • Fitness
        • Food
        • Gadgets
        • Games
        • Health
        • History
        • Hobby
        • Humor
        • Interior
        • Moto
        • Movies
        • Music
        • Nature
        • News
        • Photo
        • Pictures
        • Politics
        • Psychology
        • Science
        • Society
        • Sport
        • Technology
        • Travel
        • Video
        • Weapons
        • Web
        • Work

          Submit

          Thank you! Wait for moderation.

          Тебе это не нравится?

          You can block the domain, tag, user or channel, and we'll stop recommend it to you. You can always unblock them in your settings.

          • PostNauka
          • домен postnauka.ru

          Get a link

          Спасибо, твоя жалоба принята.

          Log on to Surfingbird

          Recover
          Sign up

          or

          Welcome to Surfingbird.com!

          You'll find thousands of interesting pages, photos, and videos inside.
          Join!

          • Personal
            recommendations

          • Stash
            interesting and useful stuff

          • Anywhere,
            anytime

          Do we already know you? Login or restore the password.

          Close

          Add to collection

             

            Facebook

            Ваш профиль на рассмотрении, обновите страницу через несколько секунд

            Facebook

            К сожалению, вы не попадаете под условия акции